物理定律处处长一个样，爱因斯坦先亲手枪毙了这句话

物理定律在任何坐标系里都写成同一个样子，这句话听着像废话，爱因斯坦为它折腾了八年，中间还亲手判过它死刑。

作者：Koutian Wu；GitHub: ktwu01

这条原则现在有个正式名字，叫广义协变性，英文 general covariance。教科书一般一句话带过，说物理方程要写成张量形式，换坐标的时候形式不变。张量这个词先放一放，后面会拆。我更想讲它是怎么来的，因为这段历史比结论好看太多了，有灵光一闪，有找同学求救，有自己把自己绕进死胡同，最后还有一场跟希尔伯特的赛跑。

故事从 1905 年说起。那年爱因斯坦二十六岁，在伯尔尼专利局审专利，业余发了狭义相对论。狭义相对论里有一条相对性原理，你坐在一列匀速行驶、窗帘拉死的火车里，做任何实验都分辨不出车是停着还是在跑。所有做匀速直线运动的参考系，物理定律都长一个样。参考系就是你拿来量位置和时间的那一套尺子和钟。

问题出在「匀速」两个字上。火车一刹车，杯子里的水往前泼，你立刻知道车在减速。加速的参考系好像天生低一等，牛顿力学里还得给它补上一些凭空冒出来的惯性力，方程才算得对。爱因斯坦看着这个就难受，凭什么匀速的参考系是贵族，加速的就是平民？

1907 年，他在专利局的椅子上想到一件事，后来他自己管这叫这辈子最快乐的念头。一个人从屋顶自由落下，掉下去的那几秒里，他感觉不到自己的重量。他手一松，苹果就飘在他旁边，跟他一起往下掉。

就这么一个画面。

说真的，这个画面今天谁都见过，空间站里的宇航员飘来飘去，其实就是一直在绕着地球往下掉。1907 年的爱因斯坦从里面抠出了一个吓人的结论，在一个足够小的范围里，重力和加速度根本分不出来。你关在一个没窗户的箱子里，觉得脚底下被往下压，可能是箱子放在地球上，也可能是箱子在太空里被火箭往上推。反过来，只要箱子自由下落，重力在箱子里就消失了。这叫等效原理。

等效原理把门推开了一条缝。既然换一个加速的参考系就能让重力消失，那加速参考系就不该是二等公民，重力问题和加速参考系问题，其实是同一个问题。爱因斯坦给自己定了个目标，造一个理论，让所有参考系平起平坐，匀速的、加速的、转圈的，物理定律都得长一个样。这个目标叫广义相对性原理。

目标定好了，然后他卡了五年。

卡在哪？卡在数学。所有参考系平起平坐，落到纸面上就是一个很具体的要求，你随便换一套坐标，方程的样子都不能变。坐标就是给每个事件编号的方法，可以用经纬度，可以用横平竖直的方格，也可以用一张被揉皱的渔网，网格歪歪扭扭，每个格子大小都不一样。狭义相对论只允许你在几种整齐的方格之间切换，爱因斯坦现在要的是任意一张揉皱的渔网都行。

这种方程怎么写？他不会。

1912 年他回到苏黎世，找到大学同学马塞尔·格罗斯曼。格罗斯曼是数学家，当年上学的时候爱因斯坦翘课，就是靠抄他的笔记过的考试。按后来的回忆，爱因斯坦张口就是一句，格罗斯曼你得帮我，不然我要疯了。

格罗斯曼回去翻了翻文献，带回来一个消息，这套数学早就有人做好了。黎曼 1854 年讲过弯曲空间的几何，里奇和列维-奇维塔在 1900 年前后把一套叫绝对微分学的工具整理了出来，今天我们管它叫张量分析。

张量这个词到这里终于可以拆了。你可以把张量想成一个跟坐标无关的物理实体，坐标只是你给它拍照的角度。换个角度拍，照片上每个分量的数字都会变，但变法有严格的规矩，所有分量按同一套规则一起变。所以一个张量方程只要在一套坐标里成立，换到任何一套坐标里都照样成立。这正好是爱因斯坦想要的那种长一个样。

这时候爱因斯坦已经想到，引力也许该看成时空本身的弯曲，用不着当成一种力。格罗斯曼给的工具正好能描述这种弯曲。描述弯曲的那个东西叫度规，可以理解成每一个点上的一把尺子，告诉你这里两点之间到底隔多远。时空平的时候，尺子处处一样。时空一弯，尺子就跟着位置变。

工具齐了，方向也对了，按理说该一路顺下去。

结果 1913 年，爱因斯坦和格罗斯曼合写了一篇论文，后来大家管它叫 Entwurf，德语里草案的意思。这份草案里的引力场方程，偏偏不满足广义协变。

最离谱的是，爱因斯坦在 1912 年到 1913 年冬天的笔记本里，已经写下过非常接近最终答案的方程，用的就是里奇张量。他算了算，觉得在引力很弱的时候推不回牛顿引力，又觉得跟能量守恒对不上，就把它扔了。今天回头看，问题出在他对坐标的处理上，方程本身没毛病。答案在他手里放了快三年。

扔掉也就算了，他还给自己找了个理由，论证广义协变根本做不到。这就是著名的洞论证，德语叫 Lochbetrachtung。

洞论证大概是这样。设想时空里有一块区域，里面一点物质都没有，像一个洞。洞外面的物质分布全都定死了。如果场方程是广义协变的，你就可以只在洞里面悄悄换一套坐标，洞外面一点不动，然后得到一个数学上不一样的解。洞外完全相同，洞里的引力场却有两个答案，那这个理论岂不是连给定物质算出唯一的引力场都做不到？爱因斯坦觉得这是致命伤，于是在 1913 到 1914 年间公开写文章，论证好的引力理论必须放弃广义协变。

自己提出的原则，自己写文章枪毙。

我是真的觉得这段特别好看。一个人最想要的东西，被他自己用一个漂亮的论证亲手否掉，然后他还在这个否定上面搭了两年理论。

草案理论撑到 1915 年就撑不住了。第一个窟窿是水星。水星的近日点每一百年会多往前挪一点点，扣掉其他行星的拉扯之后，还剩大约 43 角秒解释不了，天文学家为此连一颗叫火神星的隐藏行星都猜过。爱因斯坦和老朋友贝索 1913 年就拿草案理论算过，只算出来 18 角秒左右。第二个窟窿是转动，他发现草案理论连一个转圈的参考系都容不下，这跟他所有参考系平起平坐的初心直接冲突。

1915 年夏天，他去哥廷根讲了一个星期的课，台下坐着大卫·希尔伯特，当时全世界最强的数学家之一。希尔伯特听懂了，而且开始自己动手。爱因斯坦突然发现，这条路上不止他一个人了。

1915 年 11 月，他每个星期四去普鲁士科学院交一篇论文，连交四篇。11 月 4 日，他扔掉草案，重新拿起了里奇张量。11 月 18 日，他用新方程算水星，43 角秒，对上了。他后来写信给朋友埃伦费斯特，说自己有好几天高兴得不能自已。同一篇论文里，他把光线擦过太阳时的偏折算成了 1.7 角秒，是他 1911 年那个算法的两倍，1919 年爱丁顿的日食观测后来证实了这个数。11 月 25 日，最终的场方程交了上去。

左边描述时空怎么弯，右边描述物质和能量怎么分布。等号两边都是张量，所以这个方程在任意一张揉皱的渔网里都长这一个样。

希尔伯特那边，11 月 20 日也交了一篇论文。谁先写出最终方程，吵了几十年。1997 年有人翻出希尔伯特论文的校样，里面看不到明确写出的最终方程，偏偏有一页还被裁掉了一角，于是又吵了一轮。两个当事人倒是没翻脸，那年 12 月爱因斯坦就主动写信给希尔伯特求和了。

那洞论证呢？爱因斯坦是怎么从自己挖的坑里爬出来的？

他想通的一点是，坐标只是标签，本身没有物理意义。洞里换一套坐标，你得到的两个看起来不同的解，描述的其实是同一个物理世界，只是给事件换了编号。真正能测到的东西，是事件和事件之间的重合，两个粒子在某处撞上，一束光在某一刻打进你的眼睛。这些重合在任何坐标里都一样。1915 年底到 1916 年初，他在写给埃伦费斯特和贝索的信里讲了这个想法，后来叫点重合论证。

这一步比方程本身还狠。它说时空里的一个点，离开上面发生的事，自己并没有身份。牛顿那个空荡荡、先于一切存在的绝对空间舞台，在这里被拆了。

故事到这儿还有一个反转。

1917 年，一个叫埃里希·克莱奇曼的物理学家写文章泼了一盆冷水。他说，只要数学功夫够，任何物理理论都能改写成广义协变的样子，牛顿引力也行。那广义协变自己就没有物理内容，它只是一种写法。

爱因斯坦 1918 年回应，承认他说得对。但他补了一句，广义协变自己不限制物理，却有启发价值。在所有写成协变形式的理论里，最简单、最自然的那个就是广义相对论，牛顿引力硬改成协变形式，会变得又丑又笨。

所以回头看开头那句话，物理定律在任何坐标系里都长一个样，它刚被提出来的时候是一条物理原理，后来慢慢退成了一条数学纪律。真正有物理分量的部分，一块是等效原理，一块是时空没有预先给定的结构，全靠物质和场来决定，后面这块今天叫背景无关性。很多书把广义相对性原理和广义协变性混着讲，原因就在这儿，它们在爱因斯坦脑子里本来就是缠在一起的。

还有个后话。1918 年，外尔顺着这套思路，想把电磁力也写成某种换个标尺规矩不变的几何。第一版失败了，1929 年改头换面，成了规范对称性。今天粒子物理的标准模型，整个就搭在规范对称性上面。

一个人坐在专利局的椅子上，想象有人从屋顶掉下去。

八年以后，他写出一个方程，在任何一张揉皱的渔网里都长一个样。中间他还亲手证明过，这件事做不到。