蛋炒饭材料学模型，三年之后
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2023 年 10 月，我问了 ChatGPT 一个过度工程化的问题：怎么炒蛋炒饭，才能让每一粒米都裹上蛋，既没有裸露的白米粒，也没有单独抱团、没沾到米的蛋碎？那次对话我存成了一个 HTML 文件，扔进 Downloads 文件夹，然后差不多三年没再打开过。上周我终于把它整理成了一个真正的开源仓库，回头重读那段 2023 年的对话、把它做成代码的过程，比我预想的有意思得多。
这个问题本来就是故意问得很傻，但正因为这样，它才逼出了真正的建模。
蛋炒饭的最高境界包含两个紧密相连的要求：饭粒要粒粒分明，蛋和米也要紧紧裹在一起，让每一粒米都呈现金黄色，既没有裸米，也没有孤立的蛋。这正是中国厨师评判一盘蛋炒饭是否炒得好的综合标准。把它当成一个硬约束提出来，恰恰能把对话从”大火快炒”“不停翻炒”这种模糊的厨房经验，逼到有实际变量可谈的地步。一旦你要求”全覆盖”是一个字面意义上的条件，你就得有一个覆盖率的概念，得有它随时间变化的方式，还得有一个和它对抗的东西的描述。不管你是不是故意的，这就是一个材料学问题。
ChatGPT 中途解错了一道题，但这件事本身很重要。
对话进行到一半的时候，话题一度飘到了”蛋包饭”上——这是一道真实存在但完全不同的菜，一整张蛋皮把一整块米饭包起来，而不是蛋液碎裂成一层涂层，分布在无数颗独立的米粒表面。这种混淆很容易发生：两道菜都追求蛋和饭之间”接触最大化”，但一个是连续薄膜问题，另一个是分散涂层问题。把这两道菜到底在建模哪一道理清楚，之所以重要，是因为它们需要完全不同的物理框架。一整张膜包住一整块米饭，是个几何问题。而蛋液薄薄地铺在成千上万颗互相独立的米粒上，每一粒都被锅铲不断撞向蛋液、撞向彼此，这是一个随机动力学问题。一开始被带偏到错的那道菜，然后又明确地纠正回来，正是后来那个初版模型之所以还能用的原因之一。
2023 年那版模型的核心思路是对的：把蛋液凝固当成一个相变过程，而不是一个温度开关。
蛋白和蛋黄不是”生的”然后一过某个阈值温度就瞬间”熟了”。蛋白质是逐渐变性、交联的，所以凝固的比例，记作 φ(t)，是一个连续变量，不是阶跃函数。原始对话里把粘附能设成正比于这个凝固比例，逻辑是：生蛋液几乎不粘任何东西，但完全凝固的蛋会形成真正能粘住东西的膜，所以部分凝固应该对应部分的粘性。然后它又把这个粘附项乘上一个依赖翻炒的”接触概率”，理由是蛋和米得先物理碰上，才有可能粘在一起。两个效应相乘，合成一个”结合概率”。这个骨架是合理的，但所有真正的漏洞，也恰好都藏在这两项里。
原来的凝固动力学是拍脑袋猜的，不是一个真正的机制，所以我把它换成了晶体学里描述结晶过程的那套数学。
2023 年的模型把 φ(t) 处理成一个最简单的一阶弛豫过程，从加热那一刻起就平滑、指数式地逼近完成。真实的蛋白质凝固其实是变性、聚集、凝胶化的叠加，没有哪个闭式表达式是精确正确的，但 Avrami 形式比一阶衰减是更好的一阶近似：当指数 n > 1 时，它能刻画出一阶定律给不出的”先成核、再生长”的特征：φ(t) = 1 − exp[−(k(T)t)ⁿ]。我这里取 n > 1，正是为了让凝固一开始慢、然后加速，而不是一上来就是最大速率；当 n = 1 时，它就退回到原来那个一阶形式。温度依赖性来自一个 Arrhenius 速率 k(T)，但在 n 固定的前提下，它主要只是把时间轴拉伸缩放：锅凉一点，跑的是同一条曲线被拉长的版本，而不是一条本质不同的曲线。即便如此，换成 Avrami 也不是装饰性的改动，它改变的是覆盖率随烹饪时间变化的形状，而这个形状会一路影响后面所有依赖时机的东西。
原来的翻炒项，符号是反的，改回来之后，才第一次出现了一个真正的最优解。
这是 2023 年那版对话里我最不满意、也最庆幸自己回头重做的一部分。原来的模型用 P = P₀e^(−I/I₀) 描述接触概率随翻炒强度 I 的变化，意思是翻炒越多，蛋和米之间的接触概率就单调下降，而且完全没给出为什么会这样的机制。这也和厨房里的真实经验直接矛盾：翻炒太少的蛋炒饭并不会均匀结合，只会炒成一块一块互相分离的斑块。重做的版本改成两个互相竞争、都合理地随翻炒强度变化的效应。米粒和蛋碎之间的碰撞频率，大致随 I 线性增长——翻炒越多，接触的机会自然越多。但翻炒不是纯粹正向的：它同时也会把已经粘在米粒上的蛋膜重新撕扯下来，这种剪切导致的破碎效应大致随 I 的平方增长，因为它既取决于碰撞的频率，也取决于碰撞的力度。这两个指数（碰撞取 1 次方、破碎取 2 次方）是一个建模假设，不是推导出来的定律；真正关键的只是破碎随 I 增长得比碰撞更快。在这个假设下，线性的收益、平方的损耗，意味着翻炒强度足够高之后，破碎效应必然反超。这就产生了一个真正的非单调最优解：对于给定的烹饪时间，存在一个具体的最优翻炒强度 I*，能让最终覆盖率最大化，而不是像原来那样，”应该多翻炒还是少翻炒”这个问题的答案永远是”越少越好”或者”越多越好”两个极端之一。翻炒太少和翻炒太多，会因为完全不同的物理原因把一盘蛋炒饭毁掉，这是再普通不过的做饭经验。原来的模型给不出这个结论，重做之后的模型可以。
流程再完美，也补不了蛋本来就不够的坑。
原来的对话完全没有给蛋液的量设预算——按照那个逻辑，只要时间够长、翻炒够到位，覆盖率理论上可以逼近 100%，不管锅里到底放了多少蛋。我加了一个化学计量学意义上的覆盖率上限，θ_max(r) = min(1, r/r_c)，其中 r 是蛋和米的质量比。低于某个临界比例 r_c，锅里凝固的蛋白质总量本来就不够覆盖每一粒米，不管火候和翻炒节奏控制得多精准都没用。这是回头看最明显、原始对话也最明显漏掉的一个修正，因为它当时完全是在速率和概率的框架里推理，从来没有回头检查过最基本的质量守恒。
“全部结合”说的是方差，不只是平均值。
最初的问题问的是每一粒米都要结合上蛋，但原来的模型自始至终只追踪平均覆盖率 ⟨θ⟩。可一群米粒完全可能整体平均覆盖率很高，却依然不满足题目本身的要求：一部分米粒完全裸露，另一部分裹了厚厚一层蛋，平均下来是个好看的数字，却不对应锅里任何一粒真实的米。重做的版本给”没有裸露的米粒”加了一个工作判据：既要 ⟨θ⟩ ≥ θc，也要米粒之间的方差足够低，还要对”裸露米粒所占比例”有一个明确的上界。这个裸露比例上界，才是真正把”每一粒”落实下来的那一项，因为它是唯一一个没法被一大群裹得好的米粒平均掉的条件。这是我强加的一个启发式验收判据，不是一个充分必要的物理定义，所以我没有把它写成”当且仅当”。而且它诚实地说是单边的：θ 追踪的是每一颗米粒裹得好不好，所以它管得住”没有裸米”，却管不住对称的那一半”没有孤立的蛋”——后者需要另一个描述游离蛋液质量的变量。即便如此，平均值高但方差也高，正是任何人手忙脚乱炒过一次饭都见过的失败状态——秃斑挨着蛋疙瘩。
仓库里特意留着当年那个错误，没有悄悄抹掉。
original-2023/蛋炒饭的材料学模型.html 是 2023 年那次对话原封不动的浏览器存档，连框架的 JS 打包文件都保留着，逐字节原样保存，没有重新整理或导出。我本可以只把改进后的模型写出来，把原始文件锁进一个私人文件夹里。我没有这么做，因为上面这些漏洞只有和 2023 年当时真实说过的话对照起来看，才有意思；一份符号写反、没有质量守恒的三年前 ChatGPT 对话，比一份被我事后美化过的总结，是更诚实的原始材料。
互动演示上线之后，自己又抓出了一个 bug。
demo.html 是一个不需要任何构建步骤、完全自包含的重做模型可视化：可以调节锅温、翻炒强度、蛋米质量比、烹饪时间这几个滑块，一锅动画里的米粒会随着各自模拟出的覆盖率从白色慢慢变金黄，还有一个实时的数值扫描图表，会针对当前参数找出能让覆盖率最大化的最优翻炒强度 I*。发布之后我才注意到，蛋米比例这个滑块只要拖过大约三分之一的行程，剩下的部分就完全没有任何可见效果了。原因是化学计量上限里的临界比例 r_c 设得太小，覆盖率上限早早就封顶在 1.0 了，滑块剩下那一大截行程其实什么都没做，只是悄悄地失效了。修复方式是把 r_c 放宽，让这个上限的变化能覆盖滑块的整个行程，而不是提前封顶。这是个不大的 bug，但也正因为它不大才容易被忽略：演示看起来完全正常，动画照样在跑，它只是悄悄地对你的一个输入不再有反应而已。
这些其实都没必要做到这个程度。这不过是蛋炒饭。但我之所以愿意回去翻一个三年前的浏览器存档，认真重做整个模型，而不是随手写一篇怀旧小文应付过去，是因为原来那次对话有几个具体、可以指认出来的漏洞——翻炒项的符号反了、没有质量守恒、没有方差判据——而这些漏洞恰好都能用相邻领域里现成的工具修好。这比我预期中能从 Downloads 文件夹里挖出来的东西，要令人满意得多。
想看代码、理论推导，或者原始对话存档，仓库在这里：github.com/ktwu01/egg-fried-rice-materials-model
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